توزیع نرمال و کاربرد ان :
این توزیع یکی از مهمترین توزیعهای موجود در علم احتمال می باشد این توزیع در تمام رشته
های امار و احتمال نقش ارزندهایی دارد طبق روابط بدست امده اگر x متغیر تصادفی این
توزیع باشد z=x-E{x}/√var{x}را متغیر توزیع نرمال استاندارد می نامیم
طبق همین و برای سادگی می اییم و متغیر xرا به یک متغیر توزیع نرمال استاندارد تبدیل
می کنیم توزیع نرمال استاندارد متغیر zرا با p{z}نشان می دهیم
p{z} یک تابع است که مقدار محاسبه شده برای متغیر zتوسط این تابع را احتمال وقوع متغیر zمی نامیم
روابط مهم زیر بر قرارند :
1.
P{x>a}=1-p{x<a}
2.
P{-x}=1-p{x}
3.
P{c<x<a}=p{z=a}-p{z=c}
رابطه اول می گوید اگر بخواهیم احتمال اینکه متغیر xاز عدد aبیشتر باشد رابدست اوریم باید بیایم و احتمال x<aرا بدست اورده از عدد یک کم کنیم
رابطه دوم می گوید احتمال متغیر –xمسا.ویست با یک منهای احتمال متغیر x
رابطه سوم می گوید اگر xبین محدوده دو عدد a,cباشد باید احتمال متغیر z=c را از احتمال z=aمتغیر کم کنیم
احتمال وقوع متغیر zدر منفی و مثبت بی نهایت واقع شده چون محاسبه p{Z} مشکل است
جداولی با کمک رایانه تهیه شده که در ان مقدار عددی این احتمالها اورده شده این جدول به
همراه منحنی توزیع نرمال و روش کار با جدول در فایل پیوستی اورده شدهاند
مثال :
اگر بدنایم E{x}=4وvar{x}=4باشد
مطلوبست محاسبه :
P{x<-2}
P{x>2}
P{-4<x<1}
حل:
در تمامی موارد باید xطبق رابطه گفته شده به zتبدیل گردد
P{x<-2}=P{z={-2-4/2}=p{z=-3}=1-p{z=3}=.0013
P{x>2}=1-p{x<2}=1-P{z={2-4/2}=1-p{-1}=p{1}=.8413
P{-4<x<1}= p{z=1-4/2}-p{z=4-4/2}=p{z=-1.5}=.0668
مثال :
اگر ریسک را انحراف معیار از بازده بنامیم و معتقد باشیم بازده بازار یک متغیر تصادفی
نرمال است و بازده بازار در طی سنوات اخیر به شرح زیر بوده باشد
بازده بازار به درصد -----سال
15.4 -------------77
77.9-------------78
62-------------79
44.6---------80
52.8---------81
113----------82
31.3----------83
مطلوبست :
الف.انتظار داریم بازده بازار چند درصد باشد
ب.ریسک بازار در شرایط فعلی
ج.احتمال اینکه بازده بازار در سال جاری بیشتر از سال گذشته گردد
حل :
الف.قبلا گفتیم انتظار همان امید است و باید میانگین بازدها را در طی این چند سال بدست
اوریم می شود 56.7 درصد یعنی انتظار داریم به طور متوسط بازده بازار در طی یکسال حدود 57 درصد باشد
با توجه به نکته بالا مطلوبیت بازده بازار برای سرمایه گذاری بلند مدت بیشتر هویدا می گردد
ب.
ریسک همان انخراف معیار است البته به این موضوع در روال اتی خواهیم پرداخت
خوب انحراف معیار بازدهای بالا را بدست می اوریم
Var{x}={{{15.4-56.7}^2}+{{77.9-56.7}^2}+{{62-56.7}^2}+{{44.6-56.7}^2}+{{52.8-56.7}^2}+{{113-56.7}^2}}+{{31.3-56.7}^2}}/7=880
ریسک بازار مساویست با جذر880 که می شود تقریبا 30
یعنی در در شرایط فعلی 30 درصد ریسک در بازار وجود دارد و ریسک سرمایه گذاری در بازار 30 درصد است
ج.
باید p{x>31.3}را حساب کنیم که می شود :
1-p{z=31.3-56.7/30}=p{.84}=.7995
حدود 80 درصد احتمال دارد بازده بازار در سال جاری بیشتر از سال گذشته شود و این احتمال قوییست
تمرین:
اگر معتقد باشیم سود یک شرکت در سالیان گذشته پیرو یک متغیر تصادفی نرمال است و
سود تخصیصی شرکت به ترتیب 37000 و52000و49000و41000 میلیون ریال بوده باشد مطلوبست
الف.
انتظار داریم نرخ رشد سود این شرکت چند درصد باشد
ب.
احتمال اینکه
این شرکت در سال جاری با تعدیل مثبت سود مواجه گردد